3.357 \(\int (a+b x)^n (c+d x^2)^2 \, dx\)

Optimal. Leaf size=140 \[ \frac{\left (a^2 d+b^2 c\right )^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{4 a d \left (a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d \left (3 a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n))
+ (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(
a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0680572, antiderivative size = 140, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.059, Rules used = {697} \[ \frac{\left (a^2 d+b^2 c\right )^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac{4 a d \left (a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{2 d \left (3 a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n))
+ (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(
a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

Rule 697

Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(a + c*
x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx &=\int \left (\frac{\left (b^2 c+a^2 d\right )^2 (a+b x)^n}{b^4}-\frac{4 a d \left (b^2 c+a^2 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^4}+\frac{2 d \left (b^2 c+3 a^2 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^4}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{3+n}}{b^4}+\frac{d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^4}\right ) \, dx\\ &=\frac{\left (b^2 c+a^2 d\right )^2 (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}-\frac{4 a d \left (b^2 c+a^2 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac{2 d \left (b^2 c+3 a^2 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}-\frac{4 a d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac{d^2 (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.19372, size = 160, normalized size = 1.14 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (\frac{4 \left (a^2 d+b^2 c\right ) \left (2 a^2 d-2 a b d (n+1) x+b^2 (n+2) \left (c (n+3)+d (n+1) x^2\right )\right )}{b^4 (n+1) (n+2) (n+3)}-\frac{4 a d (a+b x) \left (2 a^2 d-2 a b d (n+2) x+b^2 (n+3) \left (c (n+4)+d (n+2) x^2\right )\right )}{b^4 (n+2) (n+3) (n+4)}+\left (c+d x^2\right )^2\right )}{b (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((c + d*x^2)^2 + (4*(b^2*c + a^2*d)*(2*a^2*d - 2*a*b*d*(1 + n)*x + b^2*(2 + n)*(c*(3 + n) +
d*(1 + n)*x^2)))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)*(2*a^2*d - 2*a*b*d*(2 + n)*x + b^2*(3 + n)*
(c*(4 + n) + d*(2 + n)*x^2)))/(b^4*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n))))/(b*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.054, size = 420, normalized size = 3. \begin{align*}{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}{d}^{2}{n}^{4}{x}^{4}+10\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{3}{x}^{3}+2\,{b}^{4}cd{n}^{4}{x}^{2}+35\,{b}^{4}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{4}-24\,a{b}^{3}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{3}+24\,{b}^{4}cd{n}^{3}{x}^{2}+50\,{b}^{4}{d}^{2}n{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{n}^{2}{x}^{2}-4\,a{b}^{3}cd{n}^{3}x-44\,a{b}^{3}{d}^{2}n{x}^{3}+{b}^{4}{c}^{2}{n}^{4}+98\,{b}^{4}cd{n}^{2}{x}^{2}+24\,{d}^{2}{x}^{4}{b}^{4}+36\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}n{x}^{2}-40\,a{b}^{3}cd{n}^{2}x-24\,a{d}^{2}{x}^{3}{b}^{3}+14\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{3}+156\,{b}^{4}cdn{x}^{2}-24\,{a}^{3}b{d}^{2}nx+4\,{a}^{2}{b}^{2}cd{n}^{2}+24\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{2}{x}^{2}-116\,a{b}^{3}cdnx+71\,{b}^{4}{c}^{2}{n}^{2}+80\,{b}^{4}cd{x}^{2}-24\,{a}^{3}b{d}^{2}x+36\,{a}^{2}{b}^{2}cdn-80\,a{b}^{3}cdx+154\,{b}^{4}{c}^{2}n+24\,{a}^{4}{d}^{2}+80\,{a}^{2}{b}^{2}cd+120\,{b}^{4}{c}^{2} \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d^2*n^4*x^4+10*b^4*d^2*n^3*x^4-4*a*b^3*d^2*n^3*x^3+2*b^4*c*d*n^4*x^2+35*b^4*d^2*n^2*x^4-24*
a*b^3*d^2*n^2*x^3+24*b^4*c*d*n^3*x^2+50*b^4*d^2*n*x^4+12*a^2*b^2*d^2*n^2*x^2-4*a*b^3*c*d*n^3*x-44*a*b^3*d^2*n*
x^3+b^4*c^2*n^4+98*b^4*c*d*n^2*x^2+24*b^4*d^2*x^4+36*a^2*b^2*d^2*n*x^2-40*a*b^3*c*d*n^2*x-24*a*b^3*d^2*x^3+14*
b^4*c^2*n^3+156*b^4*c*d*n*x^2-24*a^3*b*d^2*n*x+4*a^2*b^2*c*d*n^2+24*a^2*b^2*d^2*x^2-116*a*b^3*c*d*n*x+71*b^4*c
^2*n^2+80*b^4*c*d*x^2-24*a^3*b*d^2*x+36*a^2*b^2*c*d*n-80*a*b^3*c*d*x+154*b^4*c^2*n+24*a^4*d^2+80*a^2*b^2*c*d+1
20*b^4*c^2)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n^2+274*n+120)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.15156, size = 1092, normalized size = 7.8 \begin{align*} \frac{{\left (a b^{4} c^{2} n^{4} + 14 \, a b^{4} c^{2} n^{3} + 120 \, a b^{4} c^{2} + 80 \, a^{3} b^{2} c d + 24 \, a^{5} d^{2} +{\left (b^{5} d^{2} n^{4} + 10 \, b^{5} d^{2} n^{3} + 35 \, b^{5} d^{2} n^{2} + 50 \, b^{5} d^{2} n + 24 \, b^{5} d^{2}\right )} x^{5} +{\left (a b^{4} d^{2} n^{4} + 6 \, a b^{4} d^{2} n^{3} + 11 \, a b^{4} d^{2} n^{2} + 6 \, a b^{4} d^{2} n\right )} x^{4} + 2 \,{\left (b^{5} c d n^{4} + 40 \, b^{5} c d + 2 \,{\left (6 \, b^{5} c d - a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{3} +{\left (49 \, b^{5} c d - 6 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (39 \, b^{5} c d - 2 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n\right )} x^{3} +{\left (71 \, a b^{4} c^{2} + 4 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n^{2} + 2 \,{\left (a b^{4} c d n^{4} + 10 \, a b^{4} c d n^{3} +{\left (29 \, a b^{4} c d + 6 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \,{\left (10 \, a b^{4} c d + 3 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n\right )} x^{2} + 2 \,{\left (77 \, a b^{4} c^{2} + 18 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n +{\left (b^{5} c^{2} n^{4} + 120 \, b^{5} c^{2} + 2 \,{\left (7 \, b^{5} c^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{3} +{\left (71 \, b^{5} c^{2} - 36 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{2} + 2 \,{\left (77 \, b^{5} c^{2} - 40 \, a^{2} b^{3} c d - 12 \, a^{4} b d^{2}\right )} n\right )} x\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

(a*b^4*c^2*n^4 + 14*a*b^4*c^2*n^3 + 120*a*b^4*c^2 + 80*a^3*b^2*c*d + 24*a^5*d^2 + (b^5*d^2*n^4 + 10*b^5*d^2*n^
3 + 35*b^5*d^2*n^2 + 50*b^5*d^2*n + 24*b^5*d^2)*x^5 + (a*b^4*d^2*n^4 + 6*a*b^4*d^2*n^3 + 11*a*b^4*d^2*n^2 + 6*
a*b^4*d^2*n)*x^4 + 2*(b^5*c*d*n^4 + 40*b^5*c*d + 2*(6*b^5*c*d - a^2*b^3*d^2)*n^3 + (49*b^5*c*d - 6*a^2*b^3*d^2
)*n^2 + 2*(39*b^5*c*d - 2*a^2*b^3*d^2)*n)*x^3 + (71*a*b^4*c^2 + 4*a^3*b^2*c*d)*n^2 + 2*(a*b^4*c*d*n^4 + 10*a*b
^4*c*d*n^3 + (29*a*b^4*c*d + 6*a^3*b^2*d^2)*n^2 + 2*(10*a*b^4*c*d + 3*a^3*b^2*d^2)*n)*x^2 + 2*(77*a*b^4*c^2 +
18*a^3*b^2*c*d)*n + (b^5*c^2*n^4 + 120*b^5*c^2 + 2*(7*b^5*c^2 - 2*a^2*b^3*c*d)*n^3 + (71*b^5*c^2 - 36*a^2*b^3*
c*d)*n^2 + 2*(77*b^5*c^2 - 40*a^2*b^3*c*d - 12*a^4*b*d^2)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3
+ 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 33.4862, size = 5049, normalized size = 36.06 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**2,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**2*x + 2*c*d*x**3/3 + d**2*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**6*d**2*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 4
8*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 7*a**6*d**2/(12*a**6*b**5 + 48*a*
*5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 48*a**5*b*d**2*x*log(a/b + x)/(12*a**
6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 16*a**5*b*d**2*x/(12*a*
*6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 72*a**4*b**2*d**2*x**2
*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 48
*a**3*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*
a**2*b**9*x**4) - 24*a**3*b**3*d**2*x**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**
3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 3*a**2*b**4*c**2/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x*
*3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 12*a**2*b**4*d**2*x**4*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x*
*2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 18*a**2*b**4*d**2*x**4/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*
b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 8*a*b**5*c*d*x**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**
4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 2*b**6*c*d*x**4/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**
4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-12*a**5*d**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9
*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 10*a**5*d**2/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**
2 + 3*a*b**8*x**3) - 36*a**4*b*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*
x**3) - 18*a**4*b*d**2*x/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 36*a**3*b**2*d**2*
x**2*log(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - 12*a**2*b**3*d**2*x**3*lo
g(a/b + x)/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 12*a**2*b**3*d**2*x**3/(3*a**4*b
**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) - a*b**4*c**2/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b*
*7*x**2 + 3*a*b**8*x**3) + 3*a*b**4*d**2*x**4/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3)
+ 2*b**5*c*d*x**3/(3*a**4*b**5 + 9*a**3*b**6*x + 9*a**2*b**7*x**2 + 3*a*b**8*x**3), Eq(n, -4)), (12*a**4*d**2
*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 18*a**4*d**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2)
+ 24*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**2*x/(2*a**2*b**5 + 4*
a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*a**2*b**2*c*d*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*a**2*b**2*
c*d/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 12*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x +
2*b**7*x**2) + 8*a*b**3*c*d*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 8*a*b**3*c*d*x/(2*a**2*
b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 4*a*b**3*d**2*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - b**4*c**2/(2*
a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 4*b**4*c*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2)
+ b**4*d**2*x**4/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(3*a*b**5 +
3*b**6*x) - 12*a**4*d**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**
2*b**2*c*d*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**2*b**2*c*d/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*a**2*b**2*d**2*x**2
/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a*b**3*c*d*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 2*a*b**3*d**2*x**3/(3*a*b**5 + 3
*b**6*x) - 3*b**4*c**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*b**4*c*d*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + b**4*d**2*x**4/(3*a*b**
5 + 3*b**6*x), Eq(n, -2)), (a**4*d**2*log(a/b + x)/b**5 - a**3*d**2*x/b**4 + 2*a**2*c*d*log(a/b + x)/b**3 + a*
*2*d**2*x**2/(2*b**3) - 2*a*c*d*x/b**2 - a*d**2*x**3/(3*b**2) + c**2*log(a/b + x)/b + c*d*x**2/b + d**2*x**4/(
4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) - 24*a**4*b*d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 4*a**3*b**2*c*d*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5
*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 36*a**3*b**2*c*d*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 22
5*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 80*a**3*b**2*c*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 1
5*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*c*d*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**
5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 36*a**2*b**3*c*d*n**2*x*(a + b
*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 80*a**2*b**3*c*d*n*
x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3
*d**2*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
- 12*a**2*b**3*d**2*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5) - 8*a**2*b**3*d**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**
2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*c**2*n**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5
*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 14*a*b**4*c**2*n**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 2
25*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 71*a*b**4*c**2*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n
**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 154*a*b**4*c**2*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b
**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 120*a*b**4*c**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 8
5*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*a*b**4*c*d*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 20*a*b**4*c*d*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n*
*5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 58*a*b**4*c*d*n**2*x**2*(a + b*x)*
*n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 40*a*b**4*c*d*n*x**2*(a
+ b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**2*n**
4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b*
*4*d**2*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**
5) + 11*a*b**4*d**2*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**2*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c**2*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**
2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 14*b**5*c**2*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b
**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 71*b**5*c**2*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 154*b**5*c**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*
n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 120*b**5*c**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b*
*5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*b**5*c*d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*c*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 98*b**5*c*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n
**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 156*b**5*c*d*n*x**3*(a + b*x)**n/
(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 80*b**5*c*d*x**3*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**2*n**4*x**5*(a
+ b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*d**2*n*
*3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 35*b*
*5*d**2*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**
5) + 50*b**5*d**2*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) + 24*b**5*d**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.13712, size = 1149, normalized size = 8.21 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^5*d^2*n^4*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^4*x^4 + 10*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n^3*x^5 + 2*(b*x + a)^n*
b^5*c*d*n^4*x^3 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^3*x^4 + 35*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n^2*x^5 + 2*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n
^4*x^2 + 24*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n^3*x^3 - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^3*x^3 + 11*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^2*x^4
+ 50*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n*x^5 + (b*x + a)^n*b^5*c^2*n^4*x + 20*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n^3*x^2 + 98*(b*x + a)^
n*b^5*c*d*n^2*x^3 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^2*x^3 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n*x^4 + 24*(b*x + a)^n*b^5*d^
2*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^4 + 14*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n^3*x - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n^3*x + 58*(b*x +
a)^n*a*b^4*c*d*n^2*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n^2*x^2 + 156*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n*x^3 - 8*(b*x + a)^n*a
^2*b^3*d^2*n*x^3 + 14*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^3 + 71*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n^2*x - 36*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n^
2*x + 40*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n*x^2 + 80*(b*x + a)^n*b^5*c*d*x^3 + 71*(b*x
+ a)^n*a*b^4*c^2*n^2 + 4*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n^2 + 154*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n*x - 80*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c
*d*n*x - 24*(b*x + a)^n*a^4*b*d^2*n*x + 154*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n + 36*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n + 120*(b*x
+ a)^n*b^5*c^2*x + 120*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2 + 80*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d + 24*(b*x + a)^n*a^5*d^2)/(b^5*n^5 +
15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)